수학 1등급에 도전하자!

안녕, 얘들아. 재우쌤이야.

이번에는 수학 실력을 높이는 방법을 알려주려고 해.

우선 오늘 내가 이야기한 방법을 토대로,

앞으로 커뮤니티에 올렸던 20권의 수학책을 리뷰할 거야.

즉, 지금 올리는 영상은 내가 지금까지 사용한 수학 교육 방식이고,

다음 영상부터는 다른 분들이 지은 수학 공부 관련 도서를 읽고 내가 생각하는 교육 방식과 비교해볼 예정이야.

아마 유튜브에서 자신의 교육 방식을 다른 분들과 비교하는 영상은 처음이 아닐까 싶어.

그런데, 나는 언제든 다른 선생님들의 가르침을 받을 준비가 되어 있어.

나는 내 방식이 옳다는 확신보다는 내가 가르치는 학생들이 더 성장할 수 있는 게 중요하거든.

그래서, 내가 평가한다는 생각보다는 너희와 함께 공부한다는 생각으로 읽어볼 생각이야.

자, 우선 내가 생각하는 수학 공부의 뼈대를 이야기해보도록 할게.

 

첫째, 개념서와 유형서는 스위칭한다.

무슨 말이냐면, 학생들이 개념서를 2 회독 정도 돌리고 유형서로 넘어가는 형식으로 공부하잖아.

나는 개념서랑 유형서는 번갈아가면서 공부하는 게 맞다고 봐.

개념서는 말 그대로 개념을 저장한 책인데.

우리가 개념서 문제를 풀었다고 개념이 완벽한 상태가 아니잖아.

어제는 그냥 그런가 보다 생각하던 게, 오늘 유형서로 문제 풀면서 갑자기 이해되는 경우가 있거든.

나는 어릴 때부터 개념서를 펼치면 개념은 안 읽고 개념서 문제부터 풀었어.

그런데, 이런 학생이 생각보다 많아.

차라리 개념서에 나온 문제를 풀며 패턴을 어느 정도 암기하고 개념을 보면 이해가 더 쉽더라고. 

그래서, 이렇게 역순으로 공부하는 게 사람에 따라서는 더 효율적이라고 생각해.

문제를 먼저 풀고 개념으로 넘어가는 거지.

그런데, 이런 방식은 기초 개념이 탄탄한 학생만 가능해.

예를 들어, 지수와 로그에 진입한다면, 제곱근과 실수 개념이 확실히 잡혀 있는 학생만 이런 역순 공부가 가능해.

아마 이 공부법을 말하면, 문제 풀이만 조장하는 방식이 아니냐고 생각하는 분이 있을지 몰라.

개념서의 문제만 풀리면 개념을 다시 안 보는 학생이 있으니까 말이지.

당연히 대비책을 세워뒀어.

개념서 대단원 문제는 나중에 풀어도 되니까, 확인 문제나 예제문제만 빠르게 풀고 유형서로 넘어가.

그리고 유형서의 유형 설명을 읽는 거야.

유형 설명을 읽고 그 설명이 왜 당연한지 유도 과정이나 증명을 통해 본인이 설명해보는 거야.

이걸 통해 문제 풀이에 필요한 최소한의 개념을 이해했는지 확인할 수 있어.

한 번, 이 영상을 본 뒤에 유형서를 펼쳐서 유형 설명을 보고 설명해봐.

이게 가능한 이유는 유형서에 나온 유형 설명이 대부분 결괏값으로 이루어져 있어서 그래.

'A이면 B 한다.'

이런 식으로 말이야.

하지만, 개념서의 개념을 제대로 이해했다면, 이 결괏값만 보고 그 과정을 구체적으로 설명할 수 있거든.

만일 설명할 수 없다면, 개념서로 돌아가서 해당 유형과 관련된 개념을 다시 공부하면 돼.

인강을 듣는 학생은 해당 유형 관련 개념만 강의를 다시 들으면 되겠지.

 

둘째, 수학 개념 맵을 펼쳐라.

한국 교육과정 평가원에서 발표한 2022학년도 수능 문항 자료집을 보면,

 

두 가지 이상의 개념, 원리, 법칙의 관련성을 파악하고 종합하여 문제 해결하는 능력,

두 단계 이상의 사고 과정을 거쳐서 문제 해결하는 능력.

 

이런 능력을 확인하는 문제를 출제한다고 나와 있어.

두 가지 이상의 개념, 원리, 법칙이라는 건, 배운 것들을 조합한다는 의미이고.

두 단계 이상의 사고 과정이라는 건, 정보를 변환하는 패턴을 의미하거든.

결국 지금까지 배운 수학 개념을 연결할 수 있는지 없는지 파악하겠다는 말이야.

그래서, 처음 수학을 공부하는 학생은 초중고에 이어지는 수학 개념 지도부터 머릿속에 넣는 게 좋아.

EBSi 수학 계통도의 일부

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이 개념 맵을 뿌리 삼아, 개념에서 패턴을 뽑아 가지를 뻗는 거야.

이게 반드시 필요한 이유를 알려줄게.

응용문제를 풀면, 내가 틀린 원인이 뭔지 확인해야 하잖아.

이때 특정 개념이 머릿속에 없다면, 그걸 개념서에서 찾아 연결해야 하거든.

그런데, 개념 맵을 저장하지 않은 학생은 자기가 모르는 개념이 언제 어디서 배운 건지 몰라.

그래서, 오답 분석이 제대로 될 수 없고, 항상 내가 모르는 개념이 있을 거라 생각하니까 풀이에 자신이 없어.

이런 상태로는 아무리 공부해도 응용문제에 접근하기 힘들어.

개념 맵을 항시 체크하며, 내가 현재 배우는 단원이 전체 개념 맵에서 어디에 위치하는지 확인하자.

 

셋째, 문제 풀고 풀이 이유 쓰기.

학원에 있을 때 오답 분석을 시켰거든.

그런데, 이게 소용없는 학생이 있더라고.

원인이 뭘까.

스스로 해결책을 낸 게 아니라, 해설지의 풀이법을 암기해서 그래.

공부에 있어 암기도 물론 중요하지만, 최대한 이해해야 그 지식을 사용할 수 있거든.

공부는 원래 암기로 시작해서 이해를 거쳐 체화하는 두뇌 운동이야.

그래서, 오답 분석을 하는 건데, 메타인지에서 오류가 많은 학생은 분석이 쉽지 않아.

이런 학생에게 추천하는 풀이 방법이 있어.

 

일, 먼저 5문제 정도를 빠르게 풀이해.

이, 풀이가 끝나고 정답 보지 말고 풀이 과정에 이유를 달아둬.

     내가 왜 이런 풀이를 했는지 단계별로 간단하게 이유를 써보는 거야.

삼, 해설지의 풀이 과정이랑 나의 풀이 과정을 비교하며 오답 분석해.

 

평소보다 추가된 건, 해설지 보기 전에 내 풀이 과정에 이유를 쓰는 것밖에 없어.

하지만, 이 단순한 차이가 나 자신을 더 객관적으로 바라보게 해.

심리학에는 과잉 확신, 귀인 오류 등 인간이 생각하는 과정에서 발생하는 오류를 많이 언급하거든.

학생들이 해설지를 보면, 그 해설이 당연하고 금방 따라 할 수 있는 것처럼 여기는 경향이 있어.

그래서, 실수라고 생각해서 대충 풀이 과정을 보고 넘기는 경우가 많거든.

하지만, 이런 학생들은 꼭 같은 실수를 시험에서 반복하게 돼.

만일 풀이 후 내가 왜 그렇게 풀이했는지 이유를 적게 되면, 이런 오류를 줄일 수 있어.

내 풀이의 오류를 스스로 글로 남기게 되니까, 해설지와 어떤 점에서 차이가 나는지 바로 확인이 가능해.

또, 풀이 이유를 미리 글로 남기다 보면, 내 풀이의 오류를 정답 확인 전에 스스로 찾게 되거든.

따라서, 실수인지 실력인지 분명히 알 수 있지.

이런 작은 습관이 오답 분석으로 연결되어서, 틀리는 이유가 명확해지니까 해결책도 더 구체적으로 찾게 만들어.

당연히 같은 문제를 반복해서 틀리는 횟수도 줄어들겠지.

 

넷째. 해설은 때로 거꾸로 봐라.

해설지를 봐도 이해하기 어려운 경우가 있어.

일단 학생의 문제라면 해설지를 이해할 정도로 개념 정리가 잘 안 되어 있는 거겠지.

아니면, 문제집의 해설이 너무 부실한 경우도 있어.

그런데, 둘 다 원인이 아니라면, 해설지 보는 방식만 조금 바꿔도 이해가 쉬워져.

특히 고난도 문제의 해설을 볼 때 도움이 많이 되는데.

해설지를 거꾸로 보는 거야.

해설지를 뒤집으라는 게 아니라.

다단계 문제는 마지막 단계부터 역순으로 해설을 보면, 초기 단계에서 왜 그렇게 진행했는지 이해하기 쉬울 때가 있거든.

어차피 마지막 단계에서 원하는 값을 도출하기 위해, 초기 단계에서 정보를 가공하는 경우가 많잖아.

이런 경우 구하고자 하는 것이 무엇이고 그걸 하기 위해 어떤 과정이 필요한지 알면 문제에 접근하기 쉬워져.

그러니, 해설을 순차적으로 봐서 감이 안 잡히면, 역순으로도 바라보는 습관을 기르자.

 

풀이 이유 적기 예시1

풀이 이유 적기 예시2

 

다섯 번째. 그래프를 그리는 습관을 가져라.

함수 문제만 나오면 어렵다는 학생이 있어.

그런데, 함수는 고등학교 수학에서 거의 전부라고 봐도 과언이 아니거든.

이런 학생에게 가장 좋은 수학 공부 방법은 그래프를 많이 그려보는 거야.

예를 들어, 미적분 문제 중에 보면, 합성함수 연속성과 관련된 문제들이 있잖아.

여기 나온 그래프를 직접 그리는 거지.

해설지에 그래프가 안 나와 있다면, 웹 사이트를 사용해봐.

데스모스나 매쓰웨이 같은 사이트를 이용하면, 빠르고 간편하게 정교한 그래프를 확인할 수 있어.

그래프와 친해지면서 이해할 수 없던 원리와 법칙이 보이기 시작할 거야.

 

여섯 번째. 내신 문제집은 이렇게 결정하자.

콴다나 문제 앱을 통해 확인하는 게 제일 좋아.

학교마다 문제 유형이 다르거든.

최근 기출문제를 구해서 콴다로 찍으면 출처가 나와.

물론 선생님이 변형하셨을 테니, 똑같은 문제는 검색이 안 될 수도 있어.

그러면 유사 문제의 출처라도 확인해보는 거야.

그렇게 핵심 문제들의 출처를 확인해보면, 가장 많이 언급되는 문제집이 있거든.

그거부터 사서 푸는 게 시험에 유리하겠지.

왜냐하면, 선생님도 사람인지라 선호하는 수학 문제 유형이 있거든.

이런 유형부터 먼저 정복하는 게 내신 대비하기 좋겠지.

 

일곱 번째. 응용도가 높은 문제 위주로 풀어라.

수학 초보자들은 자신감을 높이고 개념과 기본 패턴을 정확히 이해하도록, 일반 유형서까지만 반복해서 풀려.

학생마다 다르겠지만, 학평 3등급 이하는 쎈이나 마플 시너지 내용만 완벽히 이해해도 실력과 성적이 올라.

이런 학생은 개념 맵이 엉성해서, 응용도가 높은 문제를 풀어도 망각에 휩쓸려 가기 쉬워.

하지만, 개념 맵이 형성된 다음에는 오히려 응용도가 높은 문제를 풀어야 실력이 늘지.

단계가 많고 사용되는 개념이 많은 문제를 풀면, 개념이 유기적으로 연결되면서 수학이 재미있어져.

개념서와 유형서를 보는 건, 개념을 배열하는 것이고.

기출 문제집을 푸는 건, 개념을 연결해서 개념 맵을 촘촘하게 만드는 과정이야.

한 번 이 과정을 거친 학생은 수학을 어떻게 공부하면 될지 그 방법을 알게 돼.

고 2보다 수학을 잘 푸는 초 6이 나올 수 있는 이유야.

대다수의 학생들은 개념이 제대로 배열되기 전에 고난도 문제로 넘어가니까 유기적인 연결을 경험하지 못해.

가장 응용도가 높은 문제집은 기출 문제집이야.

그래서, 최상위권 학생들은 기출 문제집을 다독하는 걸 추천해.

이 학생들은 개념 배열을 이미 마친 상태라, 응용도 높은 기출 문제집을 다독하며 개념을 연결해봤거든.

이때 효능감이 커지니까, 아예 기출 유형서가 아니라 모의고사 문제집으로 수능을 준비한 최상위권도 있어.

기출 유형서는 단원별로 문제가 구성되어 있잖아.

그런데, 모의고사는 수능처럼 30번까지 골고루 문제가 구성되어 있거든.

이걸 매일 정해진 시간에 풀고 틀린 문제의 개념을 개념서에서 찾아 해당 페이지에 체크하며 다시 이해하고,

유사한 문제를 다른 문제집에서 찾아 푸는거야.

보통 상위권 학생들이라면 수능 몇달 전에 이렇게 하는데, 몇몇 학생들은 몇년 전부터 이런 식으로 공부하기도 해.

여기서 중요한 건, 개념을 유기적으로 연결해본 학생이거나 아니면 수학적 머리를 타고난 학생만 이 방식이 효과가 크다는 거야.

그래서, 대부분 선행 학습을 오래 한 대치동 키즈가 이 방식을 선호해.

아무튼 개념 배열이 어느 정도 이루어져서 쎈이나 마플 시너지 같은 일반 유형서는 너무 우습다 생각하는 학생은 모의고사로 내신과 수능을 준비해봐.

물론 내신은 학교 스타일이 다르니 블랙라벨이나 절대등급 같은 문제집이 필요할 수 있어.

 

마무리

더 자세한 이야기는 블로그에 올려뒀어.

지금 이야기한 내용을 바탕으로 다른 분들의 수학 도서를 읽고 이야기해볼게.

20권을 한꺼번에 리뷰하면 내용이 너무 산만해지니까,

공부법, 개념, 역사나 활용에 관한 도서를 분류해서 영상을 올릴게.

그럼 오늘도 수고했고 다음에 보자.

안녕~

 

 

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(수정 전 스크립트 일부)

안녕, 얘들아. 재우쌤이야.

이번에는 수학 1등급이 되기까지 학생들의 질문에 대답하는 형식으로 이야기해줄게.

물론 지금 말하는 게 무조건 정답이라는 건 아니고.

자기 판단에 자신 없을 때 참고하라는 거야.

그럼 빠르게 시작해보자.

 

질문 1. 응용문제가 안 풀려요.

가끔 응용문제만 보면 머리가 하얗게 된다는 학생이 있어.

한국교육과정평가원에서 발표한 2022학년도 수능 문항 자료집에도 나와 있는데.

 

두 가지 이상의 개념, 원리, 법칙의 관련성을 파악하고 종합하여 문제 해결하는 능력,

두 단계 이상의 사고 과정을 거쳐서 문제 해결하는 능력.

 

이런 능력을 확인하는 문제를 출제한다고 나와 있어.

이게 응용문제거든.

응용문제 풀이를 위해서는 개념 이해 7, 문제 패턴 파악 3 비율로 공부하는 게 좋아.

보통 응용문제 접근이 안 되는 학생들은 문제 패턴 파악 7, 개념 이해 3 정도로 공부하거든.

문제 패턴 암기는 가지수가 너무 많고 신유형을 만나면 대처하기 어려워.

차라리, 뿌리가 되는 개념을 정확히 이해하는 게 훨씬 효과적인 방식이야.

 

이렇게 말해도 학생들은 본인이 어느 정도 개념 이해를 해야 하는지 잘 몰라.

문제 풀이에 필요한 최소한의 개념 이해를 확인할 방법은 없을까?

아주 간단한 방법을 알려줄게.

유형서를 사면, 흔히 대표문제 위에 개념 설명이 쓰여 있어.

쎈은 예외적으로 개념 설명이 해설지에 있지.

유형서에 나와 있는 개념 설명 대다수는 결과값이야.

'A이면 B한다.'라고 나와 있지.

그럼, 너희가 할 일은 그게 왜 당연한지 설명하는 거야.

개념서를 제대로 공부했다면 이걸 대부분 설명할 수 있어.

어차피, 개념 유도 과정이나 증명을 이해했다면 말로 충분히 설명이 가능하거든.

이게 안 되는 상황에서 문제만 풀면, 문제 패턴을 암기하는 공부를 할 수밖에 없어.

그러면, 풀이 과정을 여러 단계로 설정하거나 여러 개념을 종합한 응용문제는 접근할수가 없지.

 

나도 예전에는 개념 백지 테스트를 강조했는데.

혼자 공부하는 학생은 개념을 백지에 쓰는 게 결코 쉽지 않거든.

처음부터 개념서 문제를 아무 목적 없이 푸는 것보다는,

유형서에 나온 유형 설명이 당연해지도록 이해하기 위해 개념서를 탐독한다는 목표를 가지는 게 좋아.

 

질문 2. 같은 문제를 계속 틀려요.

학원에 있을 때 오답 분석을 시켰거든.

그런데, 이게 소용 없는 학생이 있더라고.

원인이 뭘까.

스스로 해결책을 낸 게 아니라, 풀이법을 암기해서 그래.

공부에 있어 암기도 물론 중요하지만, 최대한 이해해야 그 지식을 사용할 수 있거든.

공부는 원래 암기로 시작해서 이해를 거쳐 체화하는 두뇌 운동이야.

그래서, 오답 분석을 하는 건데, 메타인지에서 오류가 많은 학생은 분석이 쉽지 않아.

이런 학생에게 추천하는 풀이 방법이 있어.

첫째, 먼저 5문제 정도를 빠르게 풀이해.

둘째, 풀이가 끝나고 정답 보지 말고 풀이 과정에 이유를 달아둬.

내가 왜 이런 풀이를 했는지 간단하게 이유를 써보는거야.

셋째, 해설지의 풀이 과정이랑 나의 풀이 과정을 비교하며 오답 분석해.

평소보다 추가된 건, 해설지 보기 전에 내 풀이 과정에 이유를 쓰는 것밖에 없어.

하지만, 이 단순한 차이가 나 자신을 더 객관적으로 바라보게 해.

심리학에는 과잉 확신, 귀인 오류 등 인간이 생각하는 과정에서 발생하는 오류를 많이 언급하거든.

학생들이 해설지를 보면, 그 해설이 당연하고 금방 따라할 수 있는 것처럼 여기는 경향이 있어.

그래서, 실수라고 생각해서 대충 풀이 과정을 보고 넘기는 경우가 많거든.

하지만, 이런 학생들은 꼭 같은 실수를 시험에서 반복하게 돼.

만일 풀이 후 내가 왜 그렇게 풀이했는지 이유를 적게 되면, 이런 오류를 줄일 수 있어.

내 풀이의 오류를 스스로 글로 남기게 되니까, 해설지와 어떤 점에서 차이가 나는지 바로 확인이 가능해.

또, 풀이 이유를 미리 글로 남기다 보면, 내 풀이의 오류를 정답 확인 전에 스스로 찾게 되거든.

따라서, 실수인지 실력인지 분명히 알 수 있지.

이런 작은 습관이 오답 분석으로 연결되어서, 틀리는 이유가 명확하니까 해결책도 더 구체적으로 찾게 만들어.

당연히 같은 문제를 반복해서 틀리는 횟수도 줄어들겠지.

 

질문 3. 해설지를 봐도 이해가 잘 안돼요.

해설지를 봐도 이해하기 어려운 경우가 있어.

일단 학생의 문제라면 해설지를 이해할 정도로 개념 정리가 잘 안 되어 있는 거겠지.

아니면, 문제집의 해설이 너무 부실한 경우도 있어.

그런데, 둘 다 원인이 아니라면, 해설지 보는 방식만 조금 바꿔도 이해가 쉬울 때가 있어.

특히 고난도 문제의 해설을 볼 때 도움이 많이 되는데.

해설지를 거꾸로 보는거야.

해설지를 뒤집으라는 게 아니라.

다단계 문제는 마지막 단계부터 역순으로 해설을 보면, 초기 단계에서 왜 그렇게 진행했는지 이해하기 쉬울 때가 있거든.

어차피 마지막 단계에서 원하는 값을 도출하기 위해, 초기 단계에서 정보를 가공하는 경우가 많잖아.

이런 경우 구하고자 하는 것이 무엇이고 그걸 하기 위해 어떤 과정이 필요한지 알면 문제에 접근하기 쉬워져.

그러니, 해설을 순차적으로 봐서 감이 안 잡히면, 역순으로도 바라보는 습관을 기르자.

 

질문 4. 함수 응용문제만 나오면 틀려요.

함수 문제만 나오면 어렵다는 학생이 있어.

그런데, 함수는 고등학교 수학에서 거의 전부라고 봐도 과언이 아니거든.

함수가 싫어서 확통을 선택하는 학생도 있잖아.

이런 학생에게 가장 좋은 수학 공부 방법은 그래프를 많이 그려보는거야.

예를 들어, 미적분 문제 중에 보면, 합성함수 연속성과 관련된 문제들이 있잖아.

여기 나온 그래프를 직접 그려보는거야.

해설지에 그래프가 안 나와 있다면, 웹 사이트를 사용해봐.

데스모스나 매쓰웨이 같은 사이트를 이용하면, 빠르고 간편하게 정교한 그래프를 확인할 수 있어.

그래프와 친해지면서 이해할 수 없던 원리와 법칙이 보이기 시작할거야.

 

질문 5. 내신 문제집 추천해주세요.

콴다나 문제 앱을 통해 확인하는 게 제일 좋아.

학교마다 문제 유형이 다르거든.

최근 기출문제를 구해서 콴다로 찍으면 출처가 나와.

물론 선생님이 변형하셨을테니, 똑같은 문제는 검색이 안 될수도 있어.

그러면 유사 문제의 출처라도 확인해보는거야.

그렇게 핵심 문제들의 출처를 확인해보면, 가장 많이 언급되는 문제집이 있을거야.

그거부터 사서 푸는 게 시험에 유리하겠지.

 

마무리

더 자세한 이야기는 블로그에 올려뒀어.

다음에는 수학 개념과 공부법에 관한 도서를 읽고 리뷰하는 영상으로 찾아올게.

화학이랑 영어 교재 리뷰도 진행 예정이니 참고하고.

그럼 다음에 보자.

안녕~