수학 : 개념은 이해했는데, 응용문제가 안 풀려요?

수학과 과학

안녕하세요, 선생님, 학부모, 수험생 여러분.

 

오늘은 정말 많이 듣는 질문에 관해 이야기해보려 해요.

 

개념은 이해했는데, 응용문제가 안 풀린다!

 

이럴 때 어떻게 해결하나요?

 

대부분 정확한 해법을 모르니까

문제를 많이 풀어보는 쪽으로 답을 찾는 경우가 많은데요.

 

이 방법을 구체적인 목적 없이 행하면

오히려 암기 위주의 잘못된 공부 습관이 형성돼요.

 

그럼 어떻게 해야 할까요?

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■ 이해란?

일단 이해에 관해 더 쉽게 말씀드릴게요.

 

우리는 구슬을 세공하고 꿰는 액세서리 장인과 같아요.

개념이란 구슬을 정교하게 세공하여 응용이란 실에 꿰어야 합니다.

 

보통

개념은 이해했는데, 응용문제는 안 풀린다는 학생 대다수는

구슬을 실에 꿰기도 전에완성된 액세서리를 기대하는 경우가 많아요.

 

구슬을 아무리 정밀하게 세공한다고저절로 구슬이 연결되는 건 아니잖아요.

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■ 수학 응용문제 왜 안 풀리지?

예시를 한 번 들어볼까요?

삼각형 내각의 이등분선

중선 정리

고1의 경우 중선 정리 공식을 물으면,

내각의 이등분선 공식과 헷갈리는 학생이 꽤 많아요.

 

또, 절대부등식 응용문제를 주면코시 슈바르츠의 부등식을 사용할지

산술 기하 평균을 사용할지 헷갈리는 학생도 많죠. 

심지어 절대 부등식을 사용해야 한다는

생각조차 못 하는 학생도 많습니다.

공식은 다 알고 있는데 말이죠.

 

구슬을 간단히 꿰어 볼게요.

 

우선 내각의 이등분선과 중선 정리의 차이는 뭘까요?

내각의 이등분선은 각의 이등분선이고

중선은 대변의 길이를 이등분하는 선이에요.

 

설마 이걸 외우려는 분은 없겠죠?

그리고 어차피 이정도로 구슬을 꿰었다간

실이 금방 풀려버릴 거예요.

 

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■ 해결책

이런 내용을 보통 학교나 학원 수업 시간에 선생님이 설명해줘요.

저도 수학 강사를 할 때 이런 걸 비교해서 알려줬고

학생들의 성적을 많이 올렸어요.

 

그런데 이렇게 가르쳐주면 학년이 올라갈수록

학생의 수학 실력은 떨어집니다.

 

제가 아까 말한 분석 결과 있죠.

그걸 학생이 분석하는 과정이 학습이고

분석하게 만드는 게 교육이에요.

 

액세서리를 완성해서 학생에게 주면

당장 성적은 오르지만,

수학적 사고력이 저하되고

그래서 개념은 아는데, 응용문제가 안 풀리는 지경에 이릅니다.

 

수학적 사고력을 높이는 방법은 간단해요.

문제 풀이가 수학 공부의 전부가 아니라는 걸 알고

학생이 수학을 분석하면 됩니다.

 

■ 문제 분석이 수학 공부다

문제 풀이를 많이 하는 건

아쉽게도 이미 수학을 잘하는 학생에게 필요한 공부법이에요.

 

이미 수능 모의고사 수학 1등급이 당연하게 나오는 그런 학생이 아니라면

문제 풀이 시간을 줄이고 문제를 분석해봐야 해요.

 

내각의 이등분선과 중선 정리를 헷갈리는 이유는 뭘까요?

 

이등분한다는 키워드가 똑같이 들어 있어서 그런 점도 있고요.

유형서를 풀 때,

대표 유형 문제를 앞에서 뒤로 순차적으로 풀기만 해서

유형 간의 차이점을 정확히 비교하지 않았기 때문이에요.

 

만일 백지 한 페이지에

한 단원 안에 있는 개념을 모아 정리하고 비교해봤다면

헷갈리지 않았을 거예요.

 

고1 도형의 평면 좌표 단원에서

내각의 이등분선과 중선 정리 모두 언급되니까,

각을 이등분한다고 그 각의 대변을 이등분하는 건 아니라는

개념을 분석하여 머리에 넣으면 헷갈릴 일이 없겠죠.

이등변 삼각형은 예외적으로 각을 이등분하면 대변의 길이도 이등분한다는

개념까지 머릿속에 넣으면 구슬과 실을 훨씬 견고하게 꿰었다 말할 수 있죠.

 

이건 수학 문제만 많이 푼다고 이해되는 사실이 아니죠.

분석하며 고민하고 찾아봐야 알게 되는 개념이에요.

 

결국 개념 페이지에 나오는 내용만 이해하는 건

반쪽짜리 이해라 할 수 있어요.

진정한 이해는 개념과 개념 사이의 공통점과 차이점을 분석하고

새로운 개념을 도출하는 것까지 끝내는 것을 의미해요.

 

간혹 수학 선생님 중에

응용문제를 많이 풀면 자동으로

개념과 개념의 경계가 명확해진다고 말씀하는 분이 있는데

그렇게 공부하면 수학에 너무 많은 시간을 사용하게 돼요.

 

전과목을 컨설팅하는 입장에서 말씀드리면,

학생들이 수학 응용문제를 많이 풀 여유시간이 많지도 않고

응용문제를 너무 많이 풀면

쉬운 문제도 꼬아서 생각하는 안 좋은 버릇이 생기기도 해요.

 

개념 혹은 유형이 서로 어떻게 다르고

특정 개념은 어떤 문제 조건이 주어졌을 때 많이 사용되는지

개념과 문제를 넘나들며 분석하는 시간을 가지는 게

오히려 수학을 제대로 이해하는데 더 큰 도움이 됩니다.

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■ 문제 분석 많이 하면 나타나는 효과

처음에는 문제 분석을 많이 하면 할수록

더 헷갈리는 듯한 느낌을 받아요.

 

그리고 내가 뭐랑 뭐를 비교해야 하는지

그걸 찾기도 쉽지 않아요.

 

그래서 학생과 학부모님 중 상당수는

선생님이 분석하고 알려주길 원해요.

쪽집개 과외 선생이 그래서 돈을 벌죠.

 

그런데 이런 수동적 자세에서 벗어나

스스로 문제를 분석하는 학생은

질문이 늘어나고 공부에 자신감이 붙습니다.

 

자신이 헷갈리는 점을 숨기지 않고 질문하고

좋은 선생님은 이런 학생의 자세를 귀찮아하지 않아요.

대신 교재에도 나오는 건 좀 찾아보고 질문해야 하겠죠.

 

아무튼 학생의 질문이 구체적으로 바뀔수록

가르치는 입장에서는

'내가 잘 가르치고 있다'는 확신이 듭니다.

고민을 많이 하는 만큼 질문은 더 구체적으로 바뀌니까요.

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■ 결론

정리해볼게요.

수학의 개념은 이해했는데,

응용문제가 안 풀린다는 학생은

각각의 개념은 공부했어도,

개념 간의 연결 관계를 몰라서 응용문제를 못 푸는 겁니다.

 

학생은 예전에 배운 수학 지식과

새롭게 배우는 수학 지식을 스스로 비교하고

선생님이나 학부모님은

학생이 스스로 찾게 유도하고,

못 찾으면 힌트를 줘서 다시 찾도록 습관을 잡아주셔야 해요.

 

그래도 못 찾을 경우에만,

인강이나 수업을 통해 이해하고

다시 이해한 내용을 기존 지식과 비교하며 실에 꿰어야 합니다.

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■ 마무리

아직 이해가 안 되는 분은 댓글 남겨주세요.

댓글 남겨주시면,

다른 예시를 들어 설명해 드리겠습니다.

 

다음에는

영어 내신, 어떻게 준비해야 할까?

란 주제로 이야기해볼게요.

 

그럼 안녕~