고학벌 학부모님이 꼭 아셨으면 하는 수학에 관한 오해와 진실

안녕하세요.
대치동에서 학생들 가르치는 재우쌤입니다.

정말 뜬금없긴 한데요.
가끔 학생들의 댓글을 볼 때마다 이런 생각을 해요.

과연 10대, 20대의 내가 지금의 내 영상을 본다면, 나를 어떻게 평가할까?

아마 돌팔이라고 하지 않았을까?

이런 생각이 들어서 좀 웃게 돼요.

왜냐하면, 저는 초등학생 때 학교 대표로 수학 올림피아드 대회에 나갔고,

정작 고등학교 2학년 때까지 시험 딱 하루 전에 수학 공부해도 90점대가 나오는 학생이었거든요.

 

어느 정도 수학 머리를 타고났는데, 공부를 안 하는 학생이었죠.

보통 암기 과목은 하루 반짝 공부해서 성적 나오는 학생은 있어도,

수학을 하루 전부터 공부하는 정신 나간 학생은 드물잖아요.

그런데, 정말 귀찮아서 미루다가 모든 과목을 시험 하루 전부터 공부했어요.

그때 저는 좀 재수없는 학생이었죠.

학원 다니면서 같은 문제 여러 번 풀고, 오답 분석한다는 아이들이 이해가 되지 않더라고요.

그냥 유사 문제 풀면서 왜 이렇게 풀어야 할지 이해하면 그만인데, 저 녀석들은 왜 같은 문제를 또 틀리고 있는 걸까?
바본가?

이렇게 생각했거든요.

학부모님과 상담하다보면, 과거의 저처럼 수학이 쉽다고 생각하는 분들을 가끔 만나게 돼요.

아무래도, 대치동에 있다보니까, 고학벌 고스펙의 학부모님을 자주 마주하거든요.

공부는 그저 열심히 하기만 하면 성적이 오르는 건데, 만일 열심히 해도 안 된다면 그건 타고난 머리 탓 아니냐?
우리 아이는 날 닮지 않은 거 같다.

가끔 이런 식으로 답답함을 표현하는 학부모님을 만나는데요.

 

그 괴로움을 모르는 건 아니지만, 절대 그렇지 않으니까 안심하셔도 됩니다.

저도 한때 그렇게 생각했는데요.

정말 많은 학생들을 가르치면서 지푸라기라도 잡는 심정으로 교육학, 뇌과학 책을 읽고 지식을 넓혔거든요.

그랬더니, 제가 얼마나 우물 안 개구리인지 알겠더라고요.

 

지금부터 말씀드릴 건, 제가 실제로 교육에 활용해서 성적을 올리는 방식이니까 한 번 들어보세요.

제 이야기를 한 번 들어보시면, 여러분도 생각이 조금씩 달라지실 겁니다.

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수학은 무엇을 측정하는 과목이라 생각하시나요?

공식을 얼마나 잘 외우느냐?

이렇게 대답하는 분들은 천재거나 수학을 공부해본 적이 없는 분.

둘 중 하나일 겁니다.

수학은 지식을 쌓는 과목이 아니라, '생각의 깊이'를 측정하는 과목이라고 생각해요.

물론 외우는 것도 필수지만, 기본적으로 외운 걸 활용하는 게 주 목적인 과목이잖아요.

사실 국어, 영어도 외운 걸 활용하는 건 마찬가지인데, 한 가지 주제를 두고 여러 개념을 응용한다는 점에서 수학만큼 한 번에 많은 정신 에너지를 요구하는 과목은 없다고 봐요.

 

있다면 국어 독서 정도?

그래서, 수능 수학만 봐도 문제는 고작 30개밖에 안 되는데, 시간은 무려 100분을 주잖아요.

 

그만큼 생각의 깊이가 중요합니다.

 

그런데, 대체로 상담을 진행하다보면, 잘못 알고 있는 분들이 많아요.

 

대충 아는 것도 아는 것이다.

대충 빨리 진도 나가서, 미적분까지 빨리 도달하는 게 이득이다.

얕게라도 많이 아는 게 중요하다.

 

과연 그럴까요? 

 

영희를 아냐고 물어봤을 때, 한두 번 마주친 사람도 안다고 말하고 영희랑 10년지기인 친구도 안다고 말합니다.

절대 같은 정도로 영희를 아는 건 아닐텐데 둘 모두 안다고 대답하죠.

 

하지만, 우리는 알고 있어요.

 

안다의 정도가 확연히 다를 수밖에 없다는 사실을 말이죠.

 

이게 생각의 깊이 차이고, 같은 수업을 들어도 성적이 다른 이유입니다.

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그럼 이제 이런 생각이 드실 거예요.

생각의 깊이를 측정한다는 건 알겠는데, 어떻게 생각의 깊이를 만드느냐?

타고난 아이는 개념만 주입해도 알아서 활용하는데, 왜 우리 아이는 그렇게 못 하느냐?

 

다양한 이유가 있는데요.

 

같은 수업을 듣고 똑같은 시간을 공부해도 차이가 난다면, 다른 쪽도 점검해보셔야 합니다.

https://youtu.be/RXPFTS4kLpc

제가 예전에 공부원리 1탄에서 말씀드렸죠.

 

공부한 걸 쉽고 간결하게 정리해서, 다른 사람에게 설명해봐라.

 

이걸 굉장히 추상적이고 무의미한 이야기로 듣고 넘기는 분들이 계실텐데, 실제로 한 번 해보세요.

 

성적이 잘 나오는 아이는 똑같은 내용을 설명해도 훨씬 이해하기 쉽게 핵심 위주로 설명하고요.

전반적으로 성적이 안 나오는 아이는 무언가를 설명할 때 설명이 장황하고 알아듣기 힘듭니다.

자기가 말하면서도 자기가 오류에 빠지기 쉬워요.

 

이건 수학의 문제가 아니라, 생각을 정리하는 훈련이 안 되었기 때문이고요.

보통 이런 아이는 학원 다니지 않는 과목에서 그 결과가 더 뚜렷하게 나타납니다.

 

분명 공부를 안 한 건 아닌데, 성적이 잘 안 나와요.

솔직히 중학교 암기 과목인 사회, 기술 이런 과목은 책 읽으며 요약 정리만 잘 해도 성적이 나와야 정상이잖아요.

 

그런데, 어떤 정보를 받아들일 때 눈으로만 그 정보를 받아들이고 요약 정리하지 않는 학생은 타고난 머리에만 의존해서 공부하게 되고요.

 

이러니, 생각의 깊이를 만들 수 없고 기억에만 의존하니까 성적이 잘 나올 수 없겠죠.

 

이게 습관의 문제일 뿐, 훈련시키면 빨리 바뀌는 학생이 있고요.

반면에, 청킹이라고 해서, 정보를 의미 단위로 묶어서 압축시키지 못하는 학생은 정말 가르치기 힘듭니다.

 

이런 거라고 보시면 돼요.

 

12481624.

이렇게 여덟 자리 수를 나열하고 외우라고 시켰다고 가정할게요.

 

의미 단위로 묶는 훈련이 되어 있는 학생은 기존에 알고 있는 지식으로 효율적으로 기억할 수 있는 방법을 찾아요.

 

1, 2, 4, 8, 16, 24.

이렇게 숫자를 크기별로 묶어서 외우는 학생도 있고요.

여기서 더 나아가서, '2의 0제곱부터 2의 5제곱까지의 나열'이란 식으로 정보를 변형하는 학생도 있는데요.

 

가장 학습 능력이 떨어지는 학생은 12481624.

이렇게 듣거나 본 정보 그대로 외우려고 들죠.

이게 어릴 적부터 쌓이다보면 외울 게 적을 때는 큰 티가 나지 않는데, 외울게 많고 복잡해지면 확 티가 나기 시작합니다.

 

성적이 떨어지니까요.

 

이렇게 생각이 단순한 학생은 성적 올리는 데 많은 시간이 필요합니다.

청킹을 하느냐 못하느냐보다도 뭔가 효율적이고 효과적인 방법이 없을까 스스로 생각하지 않는 학생은 생각의 깊이를 남이 만들어주길 바라거든요.

 

그 자세를 바꾸는 동안에는 성적 향상을 기대하기 힘들어요.

 

저는 그래서 처음 수학 가르칠 때 꼭 오답 분석을 시켜요.

 

이 녀석이 오답을 어떻게 생각하고 처리하는지 보면 깊게 생각하는 학생인지 아닌지 알 수 있거든요.

오답 분석 예시

보통 생각이 단순한 학생은 우측과 비슷하게 씁니다.

 

틀린 이유와 해결책을 적어보라고 하면, 실수나 모름.

이렇게 추상적이고 단순하게 적고요.

 

틀린 이유가 단순하니까 해결책도 단순하고 도움이 안 되게 적어요.

집중하자, 꼼꼼히 살피자, 개념 공부를 제대로 하자.

뭐 이런 반성문을 쓰고 있죠.

 

이러니, 어떤 과목을 공부해도 시간 대비 효과가 저조할 수밖에 없어요.

 

반대로 좌측과 같이 구체적으로 적을 수 있다면, 이때는 정말 수학만 가르쳐도 됩니다.

 

자신이 틀리는 이유를 기초적인 수학 용어로 설명할 수 있고, 설사 다 설명하지 못하더라도 선생님께 질문하고 그 용어를 알아내서 구체적으로 적는 능동적인 학생이다.

 

그렇다면, 지식을 넣어주고 그걸 활용하도록 습관만 잡아줘도 성적이 올라요.

 

초등학생 때부터 대치동에서 유명 학원 다니면서 선행 학습한 중학생 중에서도요.

우측처럼 생각하고 행동하는 학생이 있어요.

 

그럼 어김 없이 학년이 오르면서 성적이 떨어집니다.

아무리 좋은 교육을 받아도, 생각이 단순하고 수동적이면 성적이 떨어지는 게 당연해요.

 

저도 선행 학습 시키는 대치동 강사지만, 이런 학생은 선행 학습 시키기 전에, 생각을 정리하는 습관부터 다시 잡아줘야 해요.

 

그럼, 기초부터 다시 공부할 수밖에 없겠죠.

 

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수학에도 단계가 있습니다.

 

연산 문제, 개념 문제, 고난도 문제.

이렇게 3단계로 나눌 수 있어요.

 

물론 개념 문제와 고난도 문제를 여러 가지로 분화시킬 수 있지만,

그 전에 개념 문제와 고난도 문제의 차이부터 아셔야 하는데요.

 

쉽게 말해서, 개념 문제는 개념을 어설프게 알아도 맞힐 수 있는 문제.

고난도 문제는 개념을 깊게 알아야 맞힐 수 있는 문제입니다.

 

아까, 제가 영희를 아냐고 물어봤을 때,

한두 번 마주친 사람도 안다고 말하고 영희랑 10년지기인 친구도 안다고 말한다고 말씀드렸죠.

 

또, 개념 문제와 고난도 문제의 차이는 이렇게도 설명할 수 있어요.

 

개념 문제는 문제 조건이 A이면 풀이법이 B인 게 당연한 문제.

고난도 문제는 문제 조건이 A일지라도 풀이법이 B가 아니라 C, D가 될 수 있는 문제.

 

이렇게 말이죠.

 

즉, 고난도 문제는 개념 문제보다 풀이법이 다양하거나 변하는 문제이기 때문에, 아직 A이면 B인 게 당연하지 않은 학생이 고난도 문제를 풀면 개념이 뒤죽박죽 섞이게 됩니다.

 

A이면 B인 게 당연하지만, 다른 조건이 추가되거나 A가 살짝 바뀌어서 C로 풀이법을 바꿔야 한다.

 

이게 수학적 추론인데, A를 마주했을 때 B를 써야 할지 C를 써야 할지 헷갈린다면 개념을 정확히 모르는 거라고 보시면 돼요.

 

따라서, 수학 쌤들이 말하는 '아는 거'는 보통 그 앞에 '정확히'라는 수식어가 생략되어 있다고 보시면 돼요.

 

어쨋든, 개념도 정확히 모르는 학생이 고난도 문제로 넘어가면, 개념이 뒤죽박죽 섞여서 자신의 판단을 신뢰할 수 없게 되고요.

그러니, 해설지를 보고 풀이법을 외우게 되는 겁니다.

심지어, 수학 쌤이 왜 B가 아니라 C로 풀어야 하는지 설명해주셔도, 머릿속에 문제별 풀이법만 저장하게 돼요.

 

이걸 인지심리학과 교육학에서 말하는 '자동화'로 설명할 수 있는데요.

 

의식적인 노력 없이도 정보를 능숙하게 처리할 수 있도록 하는 것.

이걸 '자동화'라고 합니다.

 

의식적인 노력이 없어도 된다는 건, 살짝 딴 생각을 해도 오류가 발생할 확률이 적을 정도로 당연하고 자연스러운 경지를 의미해요.

 

연산 문제, 개념 문제, 고난도 문제.

각 단계별로 '자동화'를 시키고 다음으로 넘어간다고 생각해보세요.

 

연산이 '자동화'된 뒤에 개념 문제로 넘어가면, 연산 과정을 수행하는 도중에도 내가 빠뜨린 문제 조건이 없는지 생각할 수 있는 여유가 생기고요.

연산, 개념이 '자동화'된 뒤에 고난도 문제로 넘어가면, 어떤 개념을 이 문제 조건에 적용해야 할지 자연스럽게 떠오르게 돼요.

 

생각해보세요.

 

농구는 달리면서 공을 컨트롤하는 운동입니다.

그런데, 만일 우리가 달릴 때 속으로 '왼발 오른발 왼발 오른발' 이렇게 의식적으로 생각해야 움직일 수 있다면, 우리는 농구를 잘할 수 있을까요?

 

손의 컨트롤은 물론, 발의 컨트롤까지 의식해야 하니까 스텝이 꼬일 수밖에 없겠죠.

 

이처럼 수학에서도 각 단계별 '자동화'가 어느 정도 이루어지지 않은 상태에서 다음으로 넘어가면, 결국 오답률이 늘어날 수밖에 없습니다.

 

가끔 연산에서 '자동화'가 어느 정도 이루어지지 않았는데 개념 문제 풀이로 무리하게 넘어가거나, 개념 숙지가 미흡한데 고난도 문제 풀이로 넘겨도, 오히려 성장이 빨라지는 학생들이 있어요.

 

그런 학생들은 타고난 머리가 좋거나, 메타인지가 빨라서, 집에 가서 따로 복습하거나, 아무튼 좀 남다른 학생인 경우가 많아요.

 

결코 일반적이지 않죠.

 

그럼 '자동화'는 도대체 어떻게 측정할까요?

 

시험 정답률도 '자동화'의 판단 기준이 될 수 있지만, 문제를 푸는 시간도 '자동화' 측정에 중요한 역할을 하는데요.

 

두통 없이 빠른 시간내에 당연하게 풀 수 있다면, 문제 조건을 읽고 풀이 방법을 고민하거나 연산 과정을 복잡하게 전개하지 않아도 빠르게 풀 수 있겠죠?

 

'우리 아이는 꼼꼼한 성격이라 문제 풀이에 시간이 오래 걸려요.'

 

가끔 이런 말씀하시는데, '자동화'가 잘 되고 있지 않을 가능성이 높습니다.

 

그럼 차라리 문제 난도를 낮춰서 쉬운 문제부터 빠르게 푸는 연습 시키는 게 나아요.

 

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자, 제가 시키는 것 중 호불호가 극명하게 갈리는 걸 소개할 건데요.

 

분석을 한글 위주로 쓰는 겁니다.

 

분석을 쓰라고 할 때마다 학부모님도 학생도 의아하게 생각하세요.

 

수학은 설명을 듣고 문제를 풀어야지 왜 자꾸 한글로 뭔가를 쓰게 하느냐?

 

지금까지 '청킹'과 '자동화'를 말씀드렸는데, 이게 제대로 되고 있는지 확인할 겸, 또 학생 스스로 이해했다고 느끼는 게 결코 이해한 게 아니라는 걸 깨닫게 하려고 시킵니다.

 

스스로 생각의 깊이가 얕다는 걸 깨달아야 공부가 달라지거든요.

 

그래서, 연산 문제 풀 때는 분석을 시키지 않지만, 개념 문제를 푸는 단계부터는 오답 분석 및 재풀이를 시키거나 WHY 분석을 시킵니다.

 

오답 분석 및 재풀이는 가장 낮은 단계의 분석이고요.

WHY 분석은 그 다음 단계의 분석이라고 보시면 돼요.

그 다음엔 프로세스 분석을 시키는데, 이건 선택입니다.

 

https://youtu.be/TMivKGiagRM

WHY 분석이 궁금한 분은 링크를 통해 영상 시청을 부탁드려요.

 

아무튼, 분석이 세 가지나 되는 이유는 각 단계별로 요구하는 생각의 깊이가 달라서 그래요.

오답 분석, WHY 분석, 프로세스 분석 순으로 갈수록 머릿속 정보를 압축해야 하기 때문에 '청킹'과 개념 '자동화'가 안 된 학생은 프로세스 분석으로 바로 넘길 수 없거든요.

 

저도 오답 분석과 재풀이는 비효율적이라고 생각했어요.

 

하지만, 중학생, 심지어 고등학생 중에서도 자기가 왜 틀렸는지 모르거나, 또 선생님이 풀이 방법을 설명해줘도 한 주 뒤에 풀려보면 또 틀리는 학생이 많아요.

 

선생의 자질이 부족해서 그런 거 아니냐고요?

 

현우진 쌤, 한석원 쌤, 정승제 쌤.

 

이런 분들의 강의를 보게해도 마찬가지입니다.

 

강의에서 뭘 '청킹'해서 받아들여야 할지 모르거든요.

 

나는 왜 선생님이 저렇게 당연하게 설명하시는 풀이법을 떠올리지 못하는 거지?

그리고, 나는 왜  똑같은 문제를 한 주 뒤에 풀어도 또 틀리는 걸까?

 

이걸 스스로 생각하지 못하는 학생에게 아무리 좋은 지식을 전해준들, 생각의 깊이는 자라지 않아요.

 

연산 문제는 물론, 개념 문제를 풀고 오답 분석과 재풀이를 능숙하게 하는 학생은 WHY 분석으로 넘깁니다.

그러니까, 적어도 메타인지를 어느 정도 해서 스스로 생각할 줄 알게 된 학생.

적어도, 일반 유형서의 2단계 문제까지는 정답률 90% 이상이 나오면서 속도도 빠른 학생은 WHY 분석으로 돌리죠.

 

WHY 분석은 메타인지를 위해 고안된 분석은 아니고요.

개념을 묶어서 기억하도록 유도하는 분석입니다.

점차 공부한 걸 문제 조건에 맞춰 압축하는 거죠.

 

조립제법을 쓸까? 상반 방정식을 쓸까?

닮음을 찾을까? 합동을 찾을까?

직각 삼각형이 있는 걸 보니, 외심을 이용해 원을 그려야 할까? 삼각비 공식을 써야 할까?

 

이런 식으로 소단원에서 중단원 하나 정도의 수학적 도구를 묶어서, 문제 조건별로 분석하는 과정입니다.

 

마지막, 프로세스 분석은 중단원에서 대단원 하나 정도의 수학적 도구를 묶어서 정리하는 건데, 이 정도를 한꺼번에 비교 분석해서 설명할 수 있는 학생에게는 굳이 손으로 글을 쓰게 강요하지 않아요.

 

아마, 이 영상을 보는 고학벌 학부모님과 나름 수학 좀 한다는 학생들 중 누군가는 글을 자꾸 쓰는 게 시간 낭비라고 생각할지 몰라요.

하지만, 만약 내가 글을 쓰지 않아도 어릴 적부터 생각의 정리가 잘 되는 사람이었다고 모든 사람이 그럴 것이라 생각하지 마세요.

생각의 정리와 깊이는 타고난 머리가 아니라 자신의 경험을 분석하고 통계를 내는 습관에서 비롯하거든요.

 

그러니까, 우리 아이가 좋은 강의를 듣고 문제를 다양하게 풀어도 실력이 향상되지 않는다면 분석을 꾸준히 시켜서 메타인지하는 습관부터 만들어주셔야 합니다.

 

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여러 가지 이야기를 해봤는데 도움이 되셨을지 모르겠어요.

 

오늘은 여기까지 할게요.

좋은 하루 보내세요.

감사합니다.