무조건 성적 오르는 수학 문제 로드맵

안녕하세요.
대치동에서 학생들 가르치는 재우쌤입니다.

반갑습니다.
오늘은 조금 다른 방식으로
수학 문제 로드맵을 설명해볼게요.
문제 중심으로 로드맵을 짜는 경우는 별로 없죠.

그런데,

수능 수학 문제 피라미드

수능 킬러, 응용, 유형, 개념.

이렇게 거꾸로 내려가면서 보면

어느 문제는 어떤 요구 조건이 갖춰졌을 때

풀이할 수 있는지

정확히 알 수 있거든요. 

그래서, 이 영상을 제작했습니다.

도움이 되시면 구독과 좋아요 부탁해요.

일단 수능 수학의 흐름을 봐야 하는데요.

수능 수학이 바뀌었죠.

4점짜리 문제의 전반적인 수준을 높이는 추세입니다.

킬러 문항 준킬러 문항 설명

그러니까 만점이 목표가 아니라
그냥 1등급을 원한다면
킬러보다는 준킬러까지를 얼마나 제대로 공부하느냐.
예전에도 그랬지만 지금 훨씬 더 중요해졌어요.
만일 내가 준킬러까지 어느 정도 공부했다.
이런 학생은 분명히 선택의 기로에 서게 되겠죠.

준킬러부터 제대로 복습하자

준킬러까지를 제대로 다질까?
아니면, 킬러 위주로 벽을 뚫어볼까?
킬러도 대비하는 건 당연한데요.
되도록 준킬러까지 실수 없이 빠르게 풀이할 수 있도록
시간 공간 관리에 신경 써야 합니다.
실전 대비 훈련이 필요하겠죠.
수능에 관한 건 일타 강사분들의 분석을 참고하시고요.
저는 뼈대만 잡아볼게요.

킬러나 준킬러 문항.
본 영상에선 합쳐서 그냥
수능 킬러 문제라고 할 건데요.
이걸 실전에서 풀이하는 데 있어서 요구 조건이 뭘까요.

수능 수학 킬러문제 요구 사항

수능 킬러 문제는요.

1. 먼저 문제 조건을 통해 5가지 이상의 관련 개념을
떠올릴 수 있어야 하죠. (이해)

2. 떠올린 개념에서 문제를 풀 수 있는
특수한 성질 혹은 규칙을 찾아내야 하고요. (추론)

3. 또, 찾아낸 성질 혹은 규칙을 수식으로 만들면
그걸 전개하여 답을 도출해야 하죠. (계산 및 문제 해결)

4. 그리고 시험에서는
정해진 시간 정해진 공간에 해결할 수 있는
관리 능력이 필요합니다. (관리)

여기까진 수능 시험에서
킬러 문제를 접했을 때 요구되는 사항이었고요.
특히 모의고사나 수능 시험을 앞둔 상황에선
4번.
시공간 관리 능력.
이렇게 말하니까 SF 소설 같은데.

그게 아니라.

연습장에 문제를 풀 순 없잖아요.

시험지 안에서 공간을 잘 활용해서

문제당 적정 시간을 정하고 풀라는 말입니다.

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자, 그럼 평소 응용문제 풀이할 때
요구되는 사항으로 내려가 보죠.
실전 대비가 아니라 평소 문제 풀 때
어떤 걸 신경 써야 할까요?

수학 응용문제 요구 사항

4번 관리 능력보다는
1, 2, 3번의 연결에 좀 더 신경 써야 하고요.
특히 이해한 개념에서 특수한 성질이나 규칙을 찾는
수학적 추론 능력을 기르는 데 초점을 맞춰야 합니다.

즉, 교과 개념 이해는 이미 마친 상태여야 하는데요.

가끔 교과 개념도 부실한 학생이

응용문제에 달려드니까

안 풀리면 바로 해설지로 손이 가죠.
교과 개념을 이해한다는 게 뭔지 모르는 학생이 많아요.

그럼 문제가 풀리지 않을 때 보통 어떻게 하시나요?
선택지가 몇 가지 있는데요.

관련 개념 복습

1번.
교과 개념 이해가 부족하다면,
개념서에서 관련 개념을 복습해야 합니다.
교과 개념을 복습할 때는
지금 내가 기억하지 못하는 개념만이 아니라
반드시 관련 단원의 전체 개념을
함께 복습해야 합니다.
이유는 나중에 개념 리스트 설명할 때 말씀드릴게요.

그럼 2번.
수학적 추론 능력이 부족하면 어떻게 해야 할까요.
두 가지 방법이 있는데요.

이때도 관련 개념을 복습할 수 있어요.
그런데, 이때는 교과 개념을 복습하는 건 아니고요.

교과 개념 실전 개념 비교

실전 개념 혹은 수능 개념이라고 불리는 게 있죠.
한완수에 보면 수능 개념이라고 나오고요.
뉴런에는 실전 개념이라고 나와 있죠.
한석원 쌤의 알파테크닉이나
배성민 쌤의 드리블도 이런 걸 다룹니다.
이게 교과 개념을 아는 것만으론 해결되지 않는
문제점을 보완해주는 개념이라 볼 수 있죠.
이런 교재나 강의를 이용한 학생은
문제 풀면서 강의 듣고 정리한 걸 복습하면 됩니다.

그런데, 여기서 이야기하고 싶은 건,

교과 개념이 모두 자리 잡기 전에

실전 개념으로 넘어가면

두 개가 합쳐지는 게 아니라,

교과 개념이랑 실전 개념이 겉돌게 됩니다.

그럼 수학은 암기할 개념이 많다고 생각하게 되죠.

이거 주의하세요.

풀릴 때까지 문제 풀이

또, 한 가지 방법은 그냥 발상이 떠오를 때까지
어떤 도움도 받지 않고 푸는 겁니다.
머릿속으로 계속 관련 개념을 떠올리면서
이런 방식도 써보고 저런 방식도 쓰면서
스스로 추론해보는 거죠.
사실 이 방법이 가장 좋은 방법이긴 한데요.
수학만 공부할 수 없기 때문에

적절한 타협이 필요할지도 몰라요.
그럼 해설지에 있는 한글 힌트만 살짝 보는 것도
방법이라고 할 수 있어요.
풀이 과정을 다 보는 건 추천하지 않고요.
자이스토리에 있는 단서 혹은 1st, 2nd.
마더텅의 스텝 1, 2, 3.
마플 수능 기출 총정리는 스텝 A, B, C.
이런 한글 힌트만 쓱 보고
이걸 왜 이렇게 이용하는지 고민하고

답을 낼 수 있어야 합니다.

난이도 낮춰 문제 풀이

3번.
수식 전개 과정에서 오류가 생긴다면,
난이도가 상대적으로 낮은 문제로 바꿔서
훈련하는 것도 좋은 방법이에요.
응용도가 상대적으로 낮은 문제로 훈련해서
수식 전개 속도를 높이는 거죠.

대신 이 방식으로 응용력을 기르긴 조금 어려워요.

그래서, 우리는 응용문제 풀이 전에
쎈이나 마플 시너지 같은 유형서를 푸는 겁니다.

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자, 그럼 유형 문제로 내려가서 이야기해볼게요.

유형서 심화 문제집 비교

유형서는 크게 유형서랑 심화 문제집으로 나눌 수 있어요.
둘 다 문제가 요구하는 개념의 수는
응용문제보다 상대적으로 적은 편인데요.
보통 두세 가지의 개념이 섞이는 정도고요.
대신 개념서에 있는 개념 문제보다는
관련 개념을 떠올리기 어렵게 만들어뒀죠.
개념서, 유형서, 심화 문제집 순으로
관련 개념을 떠올리기 어려워지고
풀이 과정도 복잡해집니다.

심화 문제집

일품, 고쟁이, 일등급 수학 정도의 심화 문제집은
빠른 풀이가 가능해야
수능 준킬러, 킬러 문항을 접해도 해결할 수 있어요.
세 교재 모두 심화 문제집이라고 쓰여있는 건 아니고요.
유형서이긴 한데.

상대적으로 어려운 문제가 많아서 나눠본 겁니다.
조금 더 어려운 유형서라고 생각하면 됩니다.

유형서

쎈, 마플 시너지가 가장 일반적인 유형서인데요.
이거보다 쉬운 라이트 쎈이나 RPM도 있죠.
유형서는 개념서랑 분리해서 이야기하지만,
결국 개념 리스트를 정교하게 다지기 위한
도구라고 보시면 됩니다.

즉, 유형서는 개념을 다지는 용도로 쓰는 거지.

스스로 문제 풀이하는 습관은

응용문제부터 시작해도 됩니다.

전 그래서 쎈 B 단계나

마플 시너지 스텝 1 노멀 문제까지는

개념서를 옆에 펼쳐주고 문제 풀게 해요.

대신 개념 리스트에 내가 몰랐는 내용을

추가하면서 공부해야 합니다.

쎈 C 단계랑 마플 시너지 스텝 3은

자기가 작성한 개념 리스트를 보면서 푸는 건 괜찮고요.

개념서를 펼쳐두고 문제 푸는 건

별로 권하지 않습니다.

수학 유형문제 요구 사항

그럼 수학 유형문제가
가장 많이 요구하는 사항은 뭘까요?
응용문제처럼 1, 2, 3 모두 중요하지만,
특히 1번.
개념 이해가 부족하니까
수학적 추론 능력도 문제 해결도
어려워하는 경우가 많은데요.
수학에서 개념 이해라는 건 도대체 뭘 의미하길래
킬러, 응용, 유형 문제 모두에서
이처럼 문제가 되는 걸까요?

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자, 개념 공부로 내려가 보죠.
사실 3등급 아래랑 3등급 이상을 결정하는 건

개념 공부에서 갈리게 됩니다.

철수 영희 비교

여기 두 학생이 있습니다.
철수는 매일 꾸준히 개념서 문제를 한 달간 풀었고요.
영희는 개념서 문제는 풀지 않고 2주간
개념끼리 비교해서 정리하며 공부를 마쳤어요.

문제는 개념끼리 비교하면서 필요할 때

몇 개씩 뽑아서 풀었고요.
그런데, 한 달간 공부한 철수는

쎈 C 단계는 거의 손도 못 대고
B 단계도 상 난이도를 틀립니다.
2주밖에 공부하지 않은 영희는

놀랍게도 쎈 C 단계 절반 이상을 풉니다.
철수는 문제 풀이도 성실히 하고
영희보다 두 배의 기간을 두고 공부했는데,
왜 영희가 철수보다 어려운 문제를 잘 풀까요.

저는 오랫동안 학생을 관찰하면서
이런 사례를 수없이 접했는데요.
이걸 설명해보고자

학생들에게 개념 질문을 많이 해봤죠.
그 결과로 나온 게 바로 개념 리스트입니다.

개념 리스트

어떤 문제 조건엔 어떤 개념들이 사용될 수 있는지
그 리스트를 머릿속에 작성해야 합니다.

비유적으로 말씀드리면,

공구함에 드라이버, 펜치, 스패너.

이런 것들이 들어있죠.

공구를 각각 어떻게 사용하는지

리스트를 머릿속에 저장해두는 거예요.

조립제법과 상반방정식,
파푸스의 중선 정리와 무게중심.
그거랑 헷갈리는

각의 이등분선의 정리와의 차이점.
이런 게 머릿속에서 명확하게 구분될 때
쎈 C 단계를 만나도 두렵지 않아요.
지금까지 배운 개념을 리스트로 정리하지 않고
문제마다 사용되는 개념을 일대일로 매칭시켜두니까
문제가 살짝만 바뀌어도 관련 개념을 찾지 못하고
시간을 아무리 줘도

관련 개념들이 리스트처럼

머릿속에 떠오르지 않는 거예요.
그러니까, 자꾸 해설지로 손이 가게 되죠.
이런 학생들이 수학 성적이 오르지 않는 건
수능 개념, 실전 개념이 부족한 게 아니에요.

개념 하나하나 문제 하나하나에 집착하지 말고

교과 개념끼리 서로 어떻게 연결되는지

관계를 명확히 머릿속에 정립해서 리스트를 만들고
실전 개념으로 활용할 수 있어야 해요.
그래야 심화 문제나 응용문제를 만났을 때

머릿속에서 개념을 이리저리 돌려보며

알맞은 걸 찾을 수 있거든요.

그런데, 수학 못 하는 애들은

개념을 큰 틀에서 바라보는 거시적 관점이 없어요.

영희처럼 큰틀에서 개념을 비교하며 분석하는 게

철수처럼 문제 풀이라는 행위에 집착하는 것보다

훨씬 효과적이거든요.

 

개념을 모아 정리해서 암기하고

개념끼리 어떤 차이점이 있는지 비교하며

거시적 측면에서 개념을 바라보도록 하세요.

이게 모이면 개념 맵이 됩니다.

 

어떤 경우에 인수분해 대신 근의 공식을 사용하지?

그리고 우리는 왜 해를 구하는 방법을 이렇게 다양하게 배울까?

이런 생각을 계속 누적해야지만

수학이랑 친해질 수 있어요.

문제 풀이는 그걸 도와주는 도구일 뿐이라고요.

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자, 오늘은 수능 문제부터 개념까지 모두 알아봤는데

도움이 되셨나요.

긴 영상 보시느라 고생하셨고요.

다음에는 다른 영상으로 찾아오겠습니다.

저도 이제 더 이상 훈계하고 싶지 않아요.

매번 저조차도 보기 싫은 영상을 찍더라고요.

그래도 구독자 조회수 상관없이

나름 사명감으로 여기까지 영상을 올려봅니다.

이제 좀 더 재미나고 유익한 영상으로 찾아올게요.

안녕~